Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

– Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác cảu một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

– Chứng minh định lý:

Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt AC tại điểm E như hình vẽ.

Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của large widehat{BAD}

=> $large widehat{A_{1}}=widehat{A_{2}}$

Ta có BE // AD => $large widehat{A_{1}}=widehat{B_{1}}$ ( hai góc so le trong) và $large widehat{A_{2}}=widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $large widehat{B_{1}}=widehat{E}$ => large Delta AEB cân tại A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng định lý thales vào large Delta CEB , ta có:

$large frac{DB}{DC}=frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $large frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}(dpcm)$

– Chú ý: Trong large Delta ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thỏa mãn $large frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}$ thì AD là đường phân giác của góc A.

2. Các dạng bài về tính chất đường phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài tính độ dài cạnh, diện tích, chu vi

Cách làm: Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, các tỉ lệ thức, định lý thales, định lý pytago để biến đổi và tính toán.

Ví dụ: Cho large Delta ABC có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của large widehat{A} . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: Áp dụng tính chất của đường phân giác trong large Delta ABC và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$large frac{EB}{BA}=frac{EC}{CA}=frac{EB+EC}{BA+CA}=frac{BC}{BA+CA}$

$large Rightarrow frac{EB}{5}=frac{EC}{6}=frac{7}{11}Rightarrow EB=frac{35}{11}(cm);EC=frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích

– Phươn pháp giải: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng. Áp dụng kĩ thuật đại số hóa hình học, công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

– Ví dụ: Cho large Delta ABC và các đường phân giác BD và CE. Biết $large frac{AD}{BC}=frac{2}{3}; frac{EA}{EB}=frac{5}{6}$

Hãy tính các cạnh của large Delta ABC , biết có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE vào large Delta ABC ta có:

$large frac{AB}{BC}=frac{AD}{BC}=frac{2}{3}=frac{4}{6}Rightarrow left{begin{matrix} AB=4t & \ BC=6t& end{matrix}right.(t > 0)$

$large frac{AC}{BC}=frac{AE}{EB}=frac{5}{6}Rightarrow left{begin{matrix} AC=5t & \ BC=6t& end{matrix}right.$

Lại có chu vi của large Delta ABC là 45 cm, ta có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

3. Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chương trình mới

3.1 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

cfe5ce7e1fa5dccf445552995cef877a87590f7e-1715277635

Trong Hình 4.24 có large widehat{NPH}=widehat{MPH} nên PH là tia phân giác của large widehat{NPM}

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$large frac{MP}{NP}=frac{MH}{NH}Leftrightarrow frac{5}{x}=frac{3}{5,1}$

$large Rightarrow x=frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Theo đề bài, đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D nên AD là tia phân giác của large widehat{BAC}

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$large frac{AB}{AC}=frac{DB}{DC}Leftrightarrow frac{4,5}{7}=frac{DB}{DC} Leftrightarrow frac{DB}{4,5}=frac{DC}{7}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$large frac{DB}{4,5}=frac{DC}{7}Leftrightarrow frac{DB+DC}{4,5+7}=frac{BC}{11,5}=frac{3,5}{11,5}=frac{7}{23}$

$large Rightarrow DC=frac{7.7}{23}=frac{49}{23}approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Theo đề bài, ABCD là hình vuông nên AB = AD và AC là tia phân giác của large widehat{BAD} .

Vì M là trung điểm của AB

$large Rightarrow AM=BM=frac{1}{2}AB=frac{1}{2}ADRightarrow frac{AM}{AD}=frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của large widehat{BAD} hay AI là tia phân giác của large widehat{MAD} , áp dụng tính chất đường phân giác trong large Delta ADM, ta có:

$large frac{AM}{AD}=frac{IM}{ID}=frac{1}{2}Rightarrow ID=2IM$

Ta có I là điểm gặp nhau nên Mai đi theo quãng đường MI còn Dung đi theo quãng đường DI.

Ta có S = v.t. Mà quãng đường Dung đi gấp 2 lần quãng đường Mai đi, vận tốc của 2 bạn như nhau nên thời gian Dung đi đường sẽ gấp 2 lần thời gian Mai đi đường thì mới gặp nhau tại điểm I.

Dung gặp Mai lúc 7h30p nên thời gian Mai đi trên quãng đường MI là: 7h30 – 7h = 30p

Khi đó thời gian Dung đi là 1h => Thời gian Dung xuất phát từ nhà: 7h30 – 1h = 6h30p.

Vậy dung xuất phát từ lúc 6h30p để gặp Mai lúc 7h30p tại điểm I.

Lộ trình khóa học DUO sẽ được thiết kế riêng cho từng nhóm học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước đạt điểm 9, 10 trong mọi bài kiểm tra.

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

3.2 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) Trong large Delta ABC, ta có AD là đường phân giác góc A nên ta có

$large frac{DC}{DB}=frac{AC}{AB}Leftrightarrow frac{x}{2,4}=frac{5}{3}$

$large Rightarrow x=frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong large Delta EFG, ta có EH là đường phân giác góc E nên ta có

$large frac{HG}{HF}=frac{EG}{EF}Leftrightarrow frac{x}{20-x}=frac{18}{12}$

$large Rightarrow 12x=18(20-x)Rightarrow x=frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t large Delta PQR, ta có RS là đường phân giác góc R nên ta có

$large frac{SP}{SQ}=frac{PR}{QR}Leftrightarrow frac{5}{6}=frac{10}{x}$

$large Rightarrow x=frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) ABC có AD là đường phân giác

$large Rightarrow frac{DB}{AB}=frac{DC}{AC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$large frac{DB}{AB}=frac{DC}{AC}=frac{DB+DC}{AB+AC}=frac{BC}{AB+AC}$

$large Rightarrow frac{DB}{8}=frac{DC}{6}=frac{10}{8+6}$

$large Rightarrow DB=frac{40}{7}cm;BC=frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$large frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=frac{frac{1}{2}AH.DB}{frac{1}{2}AH.DC}= frac{DB}{DC}=frac{frac{40}{7}}{frac{30}{7}}=frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) Trong large Delta ABC, ta có: AD là tia phân giác của large widehat{BAC}

$large Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = 20 cm.

$large Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{15}{20}$

$large Rightarrow frac{DB}{DB+DC}=frac{15}{15+20}Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{15}{35}$

$large Rightarrow DB=frac{15}{35}.25=frac{75}{7}cm$

$large Rightarrow DC=BC-DB=25-frac{75}{7}=frac{100}{7}cm$

Xét large Delta ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$large frac{DE}{AB}=frac{CD}{BC}Rightarrow frac{DE}{15}=frac{frac{100}{7}}{25}$

$large Rightarrow DE=frac{60}{7}$

b) Xét large Delta ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm.

Nên BC2 = AB2 + AC2 => large Delta ABC vuông tại A.

Khi đó, ta có:

$large S_{ABC}=frac{1}{2}AC.AB=frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích large Delta ABC là 150 cm2.

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$large frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=frac{frac{1}{2}AH.BD}{frac{1}{2}AH.BC}=frac{DB}{DC}=frac{frac{40}{7}}{frac{30}{7}}=frac{4}{3}$

$large Rightarrow S_{ADB}=frac{3}{7}.S_{ABC}=frac{3}{7}.150=frac{450}{7}cm$

$large frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=frac{frac{1}{2}CE.DE}{frac{1}{2}AC.AB}=left ( frac{DE}{AB} right )^{2}=left ( frac{frac{60}{7}}{25} right )^{2}=frac{144}{1225}$

$large Rightarrow S_{DCE}=frac{144}{1225}.S_{ABC}=frac{144}{1225}.150=frac{864}{49}cm^{2}$

$large Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$large =150-frac{450}{7}-frac{864}{49}=frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $large S_{ADB}=frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=frac{3336}{49}cm^{2}$

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) large Delta ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AC2 + AB2 => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$large frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}Rightarrow frac{DB}{5-DB}=frac{3}{4}$

$large Rightarrow 4DB=15-3DBRightarrow DB=frac{15}{7}cm$

Do đó: $large DC=BC-DB=5-frac{15}{7}=frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 cm.

b. Ta có: $large S_{ABC}=frac{1}{2}AB.AC=frac{1}{2}AH.BC$

$large Rightarrow AH=frac{AB.AC}{BC}=frac{3.4}{5}=frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông tại H nên:

$large HB=sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=sqrt{3^{2}-left ( frac{12}{5} right )^{2}}=frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB – HB = 15/7 – 9/5 = 12/35 cm.

$large AD=sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=sqrt{left ( frac{12}{35} right )^{2}+left ( frac{12}{5} right )^{2}}=frac{12sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $large AD=frac{12sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

• Xét large Delta ABM có MD là đường phân giác large widehat{AMB}

$large Rightarrow frac{DA}{DB}=frac{MA}{MB}$

• Xét large Delta ACM có ME là đường phân giác large widehat{AMC}

$large Rightarrow frac{EA}{EB}=frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, do đó: $large Rightarrow frac{DA}{DB}=frac{EA}{EC}$ , theo định lí Thalès đảo ta có: DE // BC.

3.3 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng tính chất đường phân giác cho large Delta ABC, ta có:

AD là đường phân giác của góc BAC

$large Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}Rightarrow frac{DB}{BC-DB}=frac{AB}{AC}Leftrightarrow frac{BD}{5-BD}=frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 – BD)

<=> 6BD = 20 – 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là đường phân giác của góc ABC

$large Rightarrow frac{EC}{EA}=frac{BC}{BA}Rightarrow frac{EC}{AC-EC}=frac{BC}{BA}Leftrightarrow frac{CE}{6-CE}=frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 – CE)

<=> 4CE = 30 – 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là đường phân giác của góc ACB

$large Rightarrow frac{FA}{FB}=frac{CA}{CB}Rightarrow frac{FA}{AB-FA}=frac{CA}{CB}Leftrightarrow frac{AF}{4-AF}=frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 – AF) <=> 5AF = 24 – 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

BE là đường phân giác của góc ABC trong large Delta ABC

$large Rightarrow frac{EC}{EA}=frac{BC}{BA}$

BD là đường phân giác của góc ABM trong large Delta ABM

$large Rightarrow frac{DM}{DA}=frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là đường trung tuyến của large Delta ABC)

$large Rightarrow frac{EC}{EA}=frac{BC}{BA}=2frac{BM}{BA}=2frac{DM}{DA}$

Vậy $large frac{EC}{EA}=2frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là đường phân giác của góc BAC trong large Delta ABC

$large Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}$

AE là đường phân giác của góc BAG trong large Delta ABG

$large Rightarrow frac{EB}{EG}=frac{AB}{AG}$

$large Rightarrow frac{DB}{DC}:frac{EB}{EG}=frac{AB}{AC}:frac{AB}{AG}=frac{AB}{AC}.frac{AG}{AB}=frac{AG}{AC}$

Vậy $large frac{DB}{DC}:frac{EB}{EG}=frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đường phân giác của góc BAC.

Xét large Delta AMD có AN là đường phân giác góc MAD

$large Rightarrow frac{ND}{NM}=frac{AD}{AM}$

Hay $large Rightarrow frac{ND}{NM}=frac{AD}{frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$large Rightarrow frac{ND}{NM}=frac{AB}{frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = 52

Suy ra BC = 5.

Do AD là đường phân giác của large widehat{BAC} , theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

$large Rightarrow frac{DB}{DC}=frac{AB}{AC}Rightarrow frac{DB}{BC-DB}=frac{AB}{AC}Leftrightarrow frac{DB}{5-DB}=frac{3}{4}$

Do đó 4DB = 3(5 – DB) <=>4DB = 15 – 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $large DC=BC-DB=5-frac{15}{7}=frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$large frac{DH}{BA}=frac{CD}{CB} Leftrightarrow frac{DH}{3}=frac{frac{20}{7}}{5}$

$large Rightarrow DH=frac{3frac{20}{7}}{5}=frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$large frac{AH}{AC}=frac{BD}{BC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

$large Rightarrow frac{AH}{4}=frac{frac{15}{7}}{5}Rightarrow AH=frac{4.frac{15}{7}}{5}=frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD2 = AH2 + DH2 (định lí Pythagore)

$large Rightarrow AD^{2}=left ( frac{12}{7} right )^{2}+left ( frac{12}{7} right )^{2}=frac{288}{49}$

$large Rightarrow AD=sqrt{frac{288}{49}}=sqrt{frac{144.2}{49}}=sqrt{left ( frac{12sqrt{2}}{7} right )^{2}}=frac{12sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo tính chất đường phân giác trong hai tam giác ACD và BCD, ta có:

AE là đường phân giác của góc CAD

$large Rightarrow frac{EC}{ED}=frac{AC}{AD}(1)$

BE là đường phân giác của góc CBD

$large Rightarrow frac{EC}{ED}=frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$large Rightarrow frac{AC}{AD}=frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đây là những kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 trong chương trình toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Bên cạnh đó VUIHOC hướng dẫn các em cách giải các bài tập trong sách giáo khoa. Truy cập vuihoc.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán 8 bổ ích nhé các em!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès trong tam giác

Đường trung bình của tam giác

Đánh giá bài viết

Trang thông tin tổng hợp

Giáo Dục

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

2. Các dạng bài về tính chất đường phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài tính độ dài cạnh, diện tích, chu vi

2.2 Dạng bài tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích

3. Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chương trình mới

3.1 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

3.2 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) ABC có AD là đường phân giác

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

3.3 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài viết cùng chủ đề:

Ảnh Hưởng Của Các Nhân Tố Ngoại Cảnh Đến Quang Hợp Và Bài Tập Trắc Nghiệm

Đoản mạch là gì? Hướng dẫn sửa chữa kịp thời khi đoản mạch điện

Biểu hiện bạo lực học đường là gì? Nguyên nhân và cách xử lý

Bài 21: Nhiệt năng (Vật lý 8 học kì 2)

Lý thuyết hóa 11 – Phenol

8 lý do Đế chế Tây La Mã sụp đổ

Chuyên gia: Nguyễn Ngân Giang