1. Định nghĩa đường parabol

Theo định nghĩa của toán học thì parabol là một đường conic được hình thành từ giao giữa một hình nón với một mặt phẳng song song với đường sinh của nó. Một parabol cũng được định nghĩa rằng nó là một tập hợp các điểm cùng trên mặt phẳng và có tính chất là cách đều một điểm đã biết (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng đã biết (được gọi là đường chuẩn).

Cho một điểm E cố định cùng với một đường thẳng d cố định nhưng không đi qua E. Thì đường Parabol chính là tập hợp tất cả các điểm M cách đều cả điểm E và đường thẳng d. Trong đó ta có:

• Điểm E được gọi là tiêu điểm của Parabol
• Đường thẳng d chính là đường chuẩn của parabol.
• Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng d chính là tham số tiêu của parabol.

Trong đời sống chúng ta có thể thấy có rất nhiều lĩnh vực ứng dụng đường cong parabol như:

• Xây dựng:

Người ta xây cầu có hình dạng parabol với bề lõm quay xuống phía dưới để lực mà cây cầu gánh chịu được san sẻ đều sang hai bên chân cầu, để giảm lực lên toàn bộ cây cầu và giúp cây cầu đó khó bị sập hơn. Vì trên mặt cầu mang hình dạng parabol thì xe cộ thường có khuynh hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu giúp cho lực tác dụng lên mặt cầu càng nhỏ hơn.

Ngoài ra, ở các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượn siêu tốc thiết kế dưới dạng các cung đường parabol giúp tăng cảm giác mạnh cho người chơi trò chơi đó đồng thời tạo được động lực cho tàu di chuyển.

• Chế tạo mặt kính:

Đường cong parabol được ứng dụng trong công nghiệp sản xuất kính thiên văn phản xạ cùng với gương cầu. Ngoài ra, đèn pin, đèn chiếu sáng cũng là một dạng mặt cầu parabol giúp ánh sáng chiếu đi xa và mạnh hơn so với mặt cầu phẳng bình thường.

• Anten Parabol

Gương hình parabol là tấm gương hoặc các mảnh kim loại mà chúng có khả năng phản chiếu và hội tụ ánh sáng hoặc các loại sóng điện từ khác tại một vị trí. Ngày nay, gương có hình parabol được sử dụng khá rộng rãi như làm ăng ten vi sóng hay chảo vệ tinh.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Phương trình đường parabol

2.1. Phương trình tổng quát đường parabol

Phương trình đường Parabol được biểu diễn như sau: $y = ax^2 + bx + c $

• Hoành độ của đỉnh chính là $-frac{b}{2a}$

• Thay tọa độ trục hoành vào phương trình trên, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: $frac{b^2-4ac}{4a}$

• Tọa độ đỉnh của đường parabol cũng như hình dạng của nó phụ thuộc vào dấu của hệ số a

2.2. Phương trình chính tắc đường parabol

Phương trình chính tắc của một parabol được biết dưới dạng: $y^2 = 2px (p > 0) $

Chứng minh như sau: Cho đường parabol có tiêu điểm E và một đường chuẩn d.

Kẻ PE ⊥ d (P ∈ d) và ta đặt PE = p.

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với điểm O là trung điểm của PE và điểm E thuộc tia Ox.

Suy ra ta có: $E=(frac{p}{2};0) , P=(-frac{p}{2};0) $

Từ đó ta có phương trình của đường thẳng d là: $x + frac{p}{2} = 0$

Điểm M(x;y) nằm trên parabol biết trước khi và chỉ khi khoảng cách ME chính bằng khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, hay là: $(x – frac{p}{2})2+ y^2 = x+frac{p}{2}$

Bình phương cả 2 vế của đẳng thức sau đó rút gọn thì ta được phương trình chính tắc của parabol có dạng: $y^2 = 2px (p > 0)$

Đăng ký ngay để nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC

3. Cách vẽ đường cong parabol

Cách 1: Vẽ bằng dụng cụ như thước kẻ và compa:

Cách vẽ parabol bằng compa và thước kẻ được áp dụng thường xuyên vì sự tiện lợi và cũng dễ dàng khi thực hiện:

• Bước 1: Khảo sát các điểm có trên parabol, có một cách rất hay là các điểm này đối xứng với nhau qua trục nên có thể khảo sách một bên của parabol.

• Bước 2: Kẻ trục Ox vuông góc với trục Oy ở điểm O.

• Bước 3: Trên trục Ox, xác định điểm E và M để điểm M là trung điểm của OE. Từ đó suy ra: OM=ME

• Bước 4: Tìm một điểm M’ bất kì ở trong ME, sau đó dùng thước thẳng để kẻ một đường đi qua M’ đồng thời song song với đường thẳng đã biết.

• Bước 5: Sử dụng compa để quay một vòng cung với bán kính bằng kích thước của đoạn OM’, điểm thuộc parabol chính là điểm cắt nhau giữa cung và nằm trên đường thẳng song song với đoạn OM.

• Bước 6: Lấy thêm các điểm bất kỳ thuộc ME rồi thực hiện tương tự các bước trong, dùng thước nối các điểm lại với nhau được một parabol hoàn chỉnh.

Cách 2: Vẽ parabol bằng hàm bậc 2

Hàm số bậc 2 có dạng như sau: $y=ax^2+bx+c (aneq 0)$

Trong đó có a, b và c là các hằng số, và $aneq 0$

Đồ thị của hàm số bậc hai chính là một đường cong có hình chữ U được gọi là parabol

Trong đồ thị của các hàm số bậc hai hoặc biểu đồ parabol hướng lên hay xuống phụ thuộc vào hằng số a. Nếu $a<0$ thì biểu đồ quay xuống dưới và nếu a>0 thì biểu đồ quay lên trên. Điều này được hiển thị bên dưới:

• Đỉnh Parabol

Một đặc điểm hết sức quan trọng của parabol đó là nó có một điểm cực trị, hay còn được gọi là đỉnh. Nếu parabol hướng lên trên, đỉnh sẽ biểu diễn điểm thấp nhất trên đồ thị đó hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai biểu diễn parabol đó. Nếu parabol hướng xuống, đỉnh sẽ biểu thị điểm cao nhất trên đồ thị hoặc giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai biểu diễn parabol đó. Trong cả hai trường hợp, đỉnh là một điểm quay ở trên đồ thị.

• Trục đối xứng Parabol

Parabol nào cũng phải có trục đối xứng và nó ở vị trí song song với trục y. Trục đối xứng là một đường thẳng đứng vẽ đi qua đỉnh.

• Giao điểm y

Giao điểm y là điểm mà tại vị trí đó parabol đi qua trục y. Chỉ tồn tại một điểm như vậy đối với đồ thị của hàm số bậc hai. Nếu có thì đường cong sẽ không phải là một hàm, vì sẽ có hai y cho một x, bằng không.

→ Cách vẽ parabol hàm bậc 2

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh parabol là: $(−frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a})$

Bước 2: Xác định được trục đối xứng $x = −frac{b}{2a}$ (đi qua đỉnh và // với trục tung)

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung chính là điểm (0; c) và cả với trục hoành (nếu có). Xác định thêm một số các điểm khác thuộc đồ thị, ví dụ những điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol sẽ giúp vẽ parabol một cách chính xác hơn.

Bước 4: Căn cứ vào tính chất đối xứng, bề lõm và hình dạng của parabol để “nối” các điểm lại và hoàn thành parabol đó.

Chú ý: Khi vẽ parabol y = ax² + bx + c (a ≠ 0) cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên còn a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

Các em có thể tìm nhiều điểm khác nhau cho đồ thị hàm số, độ chính xác của đồ thị phụ thuộc vào số lượng nhiều hay ít của các điểm này. Nối các điểm lại với nhau ta được parabol hàm số bậc hai.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: $y=-x^2+4x-4$

Lời giải:

$y=-x^2+4x-4$

+ Tập xác định là tập $mathbb{R}$

+ Đỉnh I có toạ độ I(2;0)

+ Trục đối xứng là đường thẳng x=2.

+ Giao điểm với trục hoành là điểm A có toạ độ A(2; 0).

+ Giao điểm với trục tung là điểm B có toạ độ B(0;-4).

Điểm đối xứng với điểm B(0;-4) qua đường thẳng x=2 là C(4;-4).

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = 3x^2 – 4x + 1$

Lời giải:

$y = 3x^2 – 4x + 1$ (trong đó: $a = 3; b = -4; c = 1$)

TXĐ : $D = mathbb{R}$.

Tọa độ đỉnh là điểm I có toạ độ I (2/3; -1/3).

Trục đối xứng là đường thẳng: x = 2/3

Tính biến thiên :

$a = 3 > 0$ hàm số nghịch biến trên (-∞; 2/3). và đồng biến trên khoảng 2/3 ; +∞)

Ta có bảng biến thiên :

(P) giao trục hoành y = 0 : 3×2 – 4x + 1 = 0 với x = 1 và x = ½

(P) giao trục tung : x = 0 => y = 1

Đồ thị :

Đồ thị hàm số $y = 3x^2 – 4x + 1$ là một đường parabol (P) có:

Đỉnh I(2/3; -1/3).Trục đối xứng : x = ⅔ => parabol (P) quay bề lõm lên trên .

4. Sự tương quan của parabol và đường thẳng

Cho đường thẳng d: y=mx+n và parabol (P): y=ax2(a ≠ 0)

Số giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

$ax^2=mx+n ⇔ ax^2-mx-n=0$ (*)

Như chúng ta đã biết về nghiệm của phương trình bậc 2:

– Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0) thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt – Phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0) thì d tiếp xúc với (P)

– Phương trình (*) vô nghiệm (Δ < 0) thì d không cắt (P)

4.1. Phương pháp giải: tìm toạ độ giao điểm của parabol và đường thẳng

Để tổng quát hóa cách tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng, chúng ta có thể chia ra thành bốn bước chính như sau:

Phương pháp giải:

• Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
• Bước 2: Giải phương trình bậc hai, tìm hoành độ giao điểm.
• Bước 3: Tìm tung độ giao điểm (nếu có).
• Bước 4: Kết luận.

Và cụ thể để dễ dàng tiếp cận và ứng dụng thì chúng ta sẽ đi vào bốn dạng bài thường gặp và cách làm mỗi dạng.

Dạng 1: Xác định số giao điểm của đường thẳng

d: y=mx+n và parabol (P): y=ax2(a ≠ 0).

Phương pháp: Số giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ax2-mx-n=0

+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0) thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0)thì d tiếp xúc với (P)

+) Phương trình (*) vô nghiệm (Δ < 0) thì d không cắt (P)

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

$d: y=mx+n$ và parabol $(P): y=ax^2(a ≠ 0)$.

Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm $ax^2=mx+n$ ⇔ $ax^2-mx-n=0$ (*)

Giải phương trình (*) tìm được x suy ra y .

Tọa độ các giao điểm sẽ là (x;y).

Dạng 3: Xác định tham số m để đường thẳng d: $y=mx+n$ và parabol $(P): y=ax^2(a ≠ 0)$ cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

– Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt

Δ > 0

⇔ S < 0

⎨ P > 0

– Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt:

Δ > 0

⇔ S > 0

⎨ P > 0

– Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0

– Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (thường biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-et)

Dạng 4: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác, diện tích hình thang và chiều cao

Phương pháp: Ta vận dụng linh hoạt các cách phân chia diện tích và công thức tính diện tích tam giác, hình thang để làm bài.

4.2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x-1$

Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$x^2=2x-1$ ⇔ $x^2-2x+1=0$

⇔ (x-1)^2=0

⇔ x-1=0

⇔ x=1

Với x=1=>$y=1^2=1$.

Vậy tọa độ giao điểm của parabol y=x2

và đường thẳng y=2x – 1 là (1;1).

Ví dụ 2: Cho parabol $(P): y=frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=x-frac{m}{2}$ với m là tham số sao cho đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ của tiếp điểm.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$frac{1}{2}x^2=x-mLeftrightarrow x^2-2x+m=0$ (*)

Ta có:

^Delta’ =b’^2-ac = (-1)2-1.m=1-m^.

Với trường hợp đường thẳng tiếp xúc với parabol: Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P)

Nếu phương trình (*) có nghiệm kép

$Delta’=0m=1$

Khi đó, nghiệm của phương trình (*) là:

$x_1=x_2= -frac{b}{2a}= -frac{-2}{2.1}=1$

Với $x=1 Rightarrow y=frac{1}{2}.1^2=frac{1}{2}$

Vậy tọa độ tiếp điểm của parabol $(P): y=frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=x-frac{1}{2}$ là $(1; frac{1}{2})$

VUIHOC đã ôn tập chi tiết về phần lý thuyết cũng như cách làm và ví dụ minh hoạ về đường parabol. Hy vọng rằng khi có bài viết này thì sẽ giúp các em hiểu nhanh và giải quyết được nhiều bài toán hay trong phần kiến thức này. Để tham khảo thêm các dạng kiến thức Toán THPT, đặc biệt là chương trình Toán lớp 10, các em hãy truy cập đường link online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô ngay tại đây nhé!