Một trong những bí quyết quan trọng cho các học sinh lớp 12 là cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán, việc nắm vững kiến thức và có phương pháp giải nhanh là rất quan trọng.

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

• 1. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
• 2. Ví dụ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
• 3. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cho tam giác ABC với AB = c, AC = b, BC = a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC

Phương pháp 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác

Phương pháp 2: Sử dụng định lí Sin trong tam giác

Ta có:

Phương pháp 3: Tính chất của tam giác vuông

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Phương pháp 4: Sử dụng hệ tọa độ

– Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

– Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

– Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC

*Phương pháp tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Một tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh và ba góc bằng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều chính bằng độ dài một cạnh của tam giác đó.

Bởi vì tam giác đều có các cạnh bằng nhau, ta có thể dùng công thức sau để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều:

Trong đó:

• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều.
• a là độ dài một cạnh của tam giác đều.

Lưu ý rằng công thức này chỉ áp dụng được cho các tam giác đều. Nếu tam giác không phải là tam giác đều, bạn cần sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác như đã được trình bày trong câu trả lời trước.

2. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài tập 1:

Gợi ý giải đáp

Vẽ đồ thị:

Gọi N là điểm trung điểm của BH nên MN là đường trung bình của tam giác HBC => MN vuông góc AB

Hơn nữa BH vuông góc AM

=> N là trung tâm của tam giác ABM

=> AN vuông góc BM

Do đó ADMN là hình bình hành => AN // DM

Từ đó suy ra: DM vuông góc MB nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBM là điểm trung điểm O của BD

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác ABC là:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

3. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 1: Trong tam giác vuông ABC tại A, với AB = 1 và AC = 4, gọi M là trung điểm của AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính R1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Bài 2: Trong tam giác ABC với BC = 10, (I) là đường tròn có tâm I nằm trên cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính bằng 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 3: Trong tam giác vuông ABC tại A, với AB = 5cm và AC = 12cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4: Trong hình chữ nhật ABCD với AB = 12cm và BC = 5cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Bài 5: Trong hình vuông ACBD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN.

a) Tính số đo góc CEN.

b) Chứng minh rằng 4 điểm A, D, E, M thuộc cùng một đường tròn.

c) Tìm ra tâm của đường tròn ngoại tiếp đi qua ba điểm B, D, E.

Bài 6; Trong tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.